إذا طلبت من أحد الأشخاص تسمية الثابت الرياضي المفضل لديه ، فستحصل على الأرجح على بعض النظرات المثيرّة. بعد فترة من الوقت قد يتطوع شخص ما أفضل ثابت هو pi. لكن هذا ليس الثابت الرياضي الوحيد المهم. الثانية قريبة ، إن لم يكن منافسًا لتاج أكثر ثابت في كل مكان هو ه. يظهر هذا الرقم في حساب التفاضل والتكامل ، ونظرية العدد ، والاحتمال الإحصاء. سنفحص بعض ميزات هذا الرقم الرائع ، ونرى الروابط التي تربطها بالإحصاءات والاحتمالية.
قيمة ال ه
مثل بي ، ه غير منطقي عدد حقيقي. هذا يعني أنه لا يمكن كتابتها على شكل كسر ، وأن توسعها العشري يستمر إلى الأبد مع عدم وجود كتلة مكررة من الأرقام التي تتكرر باستمرار. الرقم ه هو أيضا متسامى ، مما يعني أنه ليس جذر كثيرات الحدود غير الصفرية ذات المعاملات العقلانية. يتم إعطاء أول خمسين منزلة عشرية من قبل ه = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
تعريف ال ه
الرقم ه تم اكتشافه من قبل الأشخاص الذين لديهم فضول حول الفائدة المركبة. في هذا الشكل من الفائدة ، يكسب الرئيسي الفائدة ثم يكسب الفائدة المولدة الفائدة على نفسه. ولوحظ أنه كلما زاد تواتر الفترات المركبة في السنة ، زاد مقدار الفائدة المتولدة. على سبيل المثال ، يمكننا أن ننظر إلى تضاعف الفائدة:
- سنويا أو مرة في السنة
- نصف سنوي ، أو مرتين في السنة
- شهريا ، أو 12 مرة في السنة
- يوميًا أو 365 مرة في السنة
يزيد إجمالي مبلغ الفائدة لكل من هذه الحالات.
نشأ سؤال عن مقدار المال الذي يمكن كسبه في الفائدة. لمحاولة كسب المزيد من المال ، يمكننا نظريًا زيادة عدد الفترات المركبة إلى عدد يصل إلى العدد الذي نريده. والنتيجة النهائية لهذه الزيادة هي أننا نعتبر الفائدة تتضاعف باستمرار.
في حين أن الاهتمام يولد زيادة ، فإنه يفعل ذلك ببطء شديد. المبلغ الإجمالي في الحساب يستقر بالفعل ، والقيمة التي يستقر بها هذا المبلغ ه. للتعبير عن هذا باستخدام صيغة رياضية نقول أن الحد كما ن زيادة (1 + 1 /)ن)ن = ه.
يستخدم ل ه
الرقم ه يظهر طوال الرياضيات. إليك بعض الأماكن التي يظهر فيها:
- إنها أساس اللوغاريتم الطبيعي. منذ أن اخترع نابير اللوغاريتمات ، ه يشار إليه أحيانًا باسم ثابت نابير.
- في حساب التفاضل والتكامل ، الدالة الأسية هس له خاصية فريدة في كونه مشتق خاص به.
- التعبيرات التي تنطوي عليها هس و ه-x تتحد لتشكيل وظائف جيب التمام الزائدي وجيب التمام الزائدي.
- بفضل عمل أويلر ، نعلم أن الثوابت الأساسية للرياضيات مرتبطة بالصيغة هأنا + 1 = 0 ، أين أنا هو الرقم التخيلي وهو الجذر التربيعي للرقم السالب.
- الرقم ه يظهر في صيغ مختلفة طوال الرياضيات ، وخاصة في مجال نظرية الأعداد.
القيمة ه في الإحصاء
أهمية العدد ه لا يقتصر على مجالات قليلة من الرياضيات. هناك أيضًا عدة استخدامات للرقم ه في الإحصاء والاحتمال. بعض هذه هي كما يلي:
- الرقم ه يظهر في صيغة دالة جاما.
- الصيغ لل التوزيع القياسي يتضمن ه إلى قوة سلبية. تتضمن هذه الصيغة أيضًا pi.
- تتضمن العديد من التوزيعات الأخرى استخدام الرقم ه. على سبيل المثال ، تحتوي جميع الصيغ الخاصة بتوزيع t وتوزيع جاما وتوزيع مربع كاي على الرقم ه.