مثال اختبار فرضية لحساب الاحتمال

جزء هام من الإحصائيات الاستدلالية هو اختبار الفرضيات. كما هو الحال مع تعلم أي شيء متعلق بالرياضيات ، من المفيد العمل من خلال عدة أمثلة. فيما يلي مثال على اختبار الفرضية ، ويحسب احتمالية اكتب الأول وأخطاء النوع الثاني.

سنفترض أن الشروط البسيطة قائمة. وبشكل أكثر تحديدا سنفترض أن لدينا عينة عشوائية بسيطة من سكان إما موزع طبيعيا أو لديه حجم عينة كبير بما فيه الكفاية يمكننا تطبيق نظرية الحد المركزي. سنفترض أيضًا أننا نعرف الانحراف المعياري للسكان.

يتم تغليف كيس من رقائق البطاطس بالوزن. يتم شراء وتسعة أكياس ، ويبلغ متوسط ​​وزن هذه الأكياس التسعة 10.5 أونصة. لنفترض أن الانحراف المعياري لمجموع كل أكياس الرقائق هذه هو 0.6 أونصة. الوزن المعلن على جميع العبوات هو 11 أوقية. قم بتعيين مستوى أهمية عند 0.01.

هل تدعم العينة الفرضية القائلة بأن متوسط ​​عدد السكان الحقيقي أقل من 11 أونصة؟

لدينا اختبار ذيل منخفض. وهذا ما يشاهده بياننا الفرضيات الصفرية والبديلة:

• ح₀: μ=11.
• ح_أ: μ < 11.

يتم حساب إحصاء الاختبار بواسطة الصيغة

ض = (س-bar - μ₀)/(σ/√ن) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.

نحتاج الآن إلى تحديد مدى احتمالية هذه القيمة

ما هو احتمال حدوث خطأ من النوع الأول؟

يحدث خطأ من النوع الأول عندما نرفض فرضية صفرية صحيحة. احتمال مثل هذا الخطأ يساوي مستوى الأهمية. في هذه الحالة ، لدينا مستوى دلالة يساوي 0.01 ، وبالتالي هذا هو احتمال الخطأ من النوع الأول.

إذا كان متوسط ​​عدد السكان 10.75 أوقية فعليًا ، فما هو احتمال حدوث خطأ من النوع الثاني؟

نبدأ بإعادة صياغة قاعدة قرارنا من حيث متوسط ​​العينة. بالنسبة لمستوى أهمية 0.01 ، نرفض الفرضية الصفرية عند ض < -2.33. من خلال إدخال هذه القيمة في صيغة إحصائيات الاختبار ، نرفض الفرضية الصفرية عند

(س-bar - 11) / (0.6 / √ 9)

وبالمثل نرفض الفرضية الصفرية عندما 11 - 2.33 (0.2)> س-بار ، أو متى س-شريط أقل من 10.534. فشلنا في رفض الفرضية الصفرية س-شريط أكبر من أو يساوي 10.534. إذا كان متوسط ​​عدد السكان الحقيقي هو 10.75 ، فإن احتمال ذلك س-bar أكبر من أو يساوي 10.534 ما يعادل احتمال ذلك ض أكبر من أو يساوي -0.22. هذا الاحتمال ، وهو احتمال خطأ من النوع الثاني ، يساوي 0.587.