فاصل الثقة لنسبة السكان

فترات الثقة يمكن استخدامها لتقدير العديد من السكان المعلمات. نوع واحد من المعلمات التي يمكن تقديرها باستخدام إحصائيات استدلالية نسبة السكان. على سبيل المثال ، قد نرغب في معرفة النسبة المئوية لسكان الولايات المتحدة الذين يدعمون تشريعًا معينًا. بالنسبة لهذا النوع من الأسئلة ، نحتاج إلى إيجاد فاصل الثقة.

في هذه المقالة ، سنرى كيفية بناء فاصل الثقة لنسبة السكان ، ودراسة بعض النظريات الكامنة وراء ذلك.

نبدأ بالنظر إلى الصورة الكبيرة قبل أن ندخل في التفاصيل. نوع فاصل الثقة الذي سننظر فيه هو من الشكل التالي:

تقدير +/- هامش الخطأ

هذا يعني أن هناك رقمان سنحتاج إلى تحديدهما. هذه القيم هي تقدير للمعلمة المطلوبة ، إلى جانب هامش الخطأ.

قبل إجراء أي اختبار أو إجراء إحصائي ، من المهم التأكد من استيفاء جميع الشروط. بالنسبة لفاصل الثقة لنسبة السكان ، نحتاج إلى التأكد من أن التعليق التالي:

• لدينا عينة عشوائية بسيطة الحجم ن من عدد كبير من السكان
• تم اختيار أفرادنا بشكل مستقل عن بعضهم البعض.
• هناك 15 نجاحًا على الأقل و 15 إخفاقًا في العينة.

إذا لم يكن العنصر الأخير راضيًا ، فقد يكون من الممكن تعديل العينة قليلاً واستخدام

نبدأ بتقدير نسبة السكان لدينا. كما نستخدم متوسط ​​العينة لتقدير متوسط ​​عدد السكان ، نستخدم نسبة عينة لتقدير نسبة السكان. نسبة السكان هي معلمة غير معروفة. نسبة العينة إحصائية. تم العثور على هذه الإحصائية عن طريق حساب عدد النجاحات في العينة ثم القسمة على العدد الإجمالي للأفراد في العينة.

يشار إلى نسبة السكان من قبل ص وشرح الذات. يكون تدوين نسبة العينة أكثر قليلاً. نشير إلى أن نسبة العينة هي p̂ ، ونقرأ هذا الرمز على أنه "p-hat" لأنه يبدو وكأنه الحرف ص مع قبعة في الأعلى.

يصبح هذا الجزء الأول من فاصل الثقة. تقدير p هو p̂.

لتحديد صيغة هامش الخطأ ، نحتاج إلى التفكير في توزيع العينات من ص. سنحتاج إلى معرفة المتوسط ​​والانحراف المعياري والتوزيع الخاص الذي نعمل معه.

توزيع عينات p̂ هو توزيع ذو حدين مع احتمال النجاح ص و ن المحاكمات. هذا النوع من المتغير العشوائي له متوسط ص والانحراف المعياري لـ (ص(1 - ص)/ن)^0.5. هناك مشكلتان مع هذا.

المشكلة الأولى هي أن التوزيع ذي الحدين يمكن أن يكون صعبًا للغاية للعمل معه. يمكن أن يؤدي وجود العوامل إلى بعض الأعداد الكبيرة جدًا. هذا هو المكان الذي تساعدنا فيه الظروف. طالما تم استيفاء شروطنا ، يمكننا تقدير التوزيع ذي الحدين مع التوزيع العادي القياسي.

المشكلة الثانية هي أن الانحراف المعياري لاستخدامات p̂ ص في تعريفها. يجب تقدير معلمة السكان غير المعروفة باستخدام نفس المعلمة مثل هامش الخطأ. هذا المنطق الدائري هو مشكلة تحتاج إلى إصلاح.

المخرج من هذا اللغز هو استبدال الانحراف المعياري بخطأه المعياري. تستند الأخطاء المعيارية إلى الإحصائيات وليس المعلمات. يستخدم خطأ معياري لتقدير الانحراف المعياري. ما يجعل هذه الاستراتيجية جديرة بالاهتمام هو أننا لم نعد بحاجة إلى معرفة قيمة المعلمة ص.

لاستخدام الخطأ القياسي ، نستبدل المعلمة غير المعروفة ص مع إحصائية p̂. والنتيجة هي الصيغة التالية لفاصل الثقة لنسبة السكان:

p̂ +/- ض * (p̂ (1 - p̂) /ن)^0.5.

هنا قيمة ض * يتحدد بمستوى ثقتنا ج. للتوزيع العادي القياسي ، بالضبط ج النسبة المئوية للتوزيع العادي القياسي هي بين -z * و ض *. القيم المشتركة لـ ض * تتضمن 1.645 للثقة 90٪ و 1.96 للثقة 95٪.

دعونا نرى كيف تعمل هذه الطريقة مع مثال. لنفترض أننا نريد أن نعرف بثقة 95٪ نسبة الناخبين في مقاطعة تعرف نفسها على أنها ديمقراطية. نجري عينة عشوائية بسيطة من 100 شخص في هذه المقاطعة ونجد أن 64 منهم يعرّفون على أنهم ديمقراطيون.

نرى أنه تم استيفاء جميع الشروط. تقدير نسبة السكان لدينا هو 64/100 = 0.64. هذه هي قيمة نسبة العينة p̂ وهي مركز فاصل الثقة.

يتكون هامش الخطأ من قطعتين. الأول هو ض*. كما قلنا ل 95٪ من الثقة قيمة ض* = 1.96.

يتم إعطاء الجزء الآخر من هامش الخطأ بالصيغة (p̂ (1 - p̂) /ن)^0.5. نحدد p̂ = 0.64 ونحسب = الخطأ المعياري ليكون (0.64 (0.36) / 100)^0.5 = 0.048.

نضرب هذين الرقمين معًا ونحصل على هامش خطأ يبلغ 0.09408. والنتيجة النهائية هي:

0.64 +/- 0.09408,

أو يمكننا إعادة كتابة ذلك على أنه 54.592٪ إلى 73.408٪. وبالتالي نحن واثقون بنسبة 95٪ من أن نسبة السكان الحقيقية من الديمقراطيين تقع في مكان ما في نطاق هذه النسب المئوية. وهذا يعني أنه على المدى الطويل ، ستسحب تقنيتنا وصيغتنا نسبة السكان التي تبلغ 95٪ من الوقت.

هناك عدد من الأفكار والموضوعات المرتبطة بهذا النوع من فترات الثقة. على سبيل المثال ، يمكننا إجراء اختبار فرضية يتعلق بقيمة نسبة السكان. يمكننا أيضًا مقارنة نسبتين من مجموعتين مختلفتين.