درجات الحرية للاستقلال في جدول ثنائي الاتجاه

عدد ال درجات الحرية من أجل استقلالية متغيرين فئتين يعطى بصيغة بسيطة: (ص - 1)(ج - 1). هنا ص هو عدد الصفوف و ج هو عدد الأعمدة في طاولة ذات اتجاهين من قيم المتغيرات الفئوية. تابع القراءة لمعرفة المزيد حول هذا الموضوع وفهم لماذا تعطي هذه الصيغة الرقم الصحيح.

خطوة واحدة في عملية الكثيرين اختبارات الفرضيات هو تحديد عدد درجات الحرية. هذا الرقم مهم لأن التوزيعات الاحتمالية التي تنطوي على مجموعة من التوزيعات ، مثل توزيع خي مربع ، وعدد درجات تحدد الحرية التوزيع الدقيق من العائلة الذي يجب أن نستخدمه في فرضيتنا اختبار.

تمثل درجات الحرية عدد الخيارات المجانية التي يمكننا القيام بها في حالة معينة. أحد اختبارات الفرضية التي تتطلب منا تحديد درجات الحرية هي خي مربع اختبار الاستقلال لمتغيرين فئتين.

اختبار خي مربع للاستقلال يدعو لنا لبناء جدول ثنائي الاتجاه ، والمعروف أيضًا باسم جدول الطوارئ. هذا النوع من الجدول لديه ص الصفوف و ج الأعمدة التي تمثل ص مستويات متغير فئوي واحد و ج مستويات المتغيرات الفئوية الأخرى. وبالتالي ، إذا لم نحسب الصف والعمود الذي نسجل فيه الإجماليات ، فسيكون هناك إجمالي RC الخلايا في الجدول ثنائي الاتجاه.

اختبار خي مربع الاستقلال يسمح لنا باختبار الفرضية القائلة بأن قاطع المتغيرات مستقلة عن بعضها البعض. كما ذكرنا أعلاه ، فإن ص الصفوف و ج الأعمدة في الجدول تعطينا (ص - 1)(ج - 1) درجات الحرية. ولكن قد لا يكون من الواضح على الفور لماذا هذا هو العدد الصحيح لدرجات الحرية.

لمعرفة لماذا (ص - 1)(ج - 1) هو الرقم الصحيح ، سندرس هذا الموقف بمزيد من التفصيل. افترض أننا نعرف المجاميع الهامشية لكل مستوى من مستويات المتغيرات الفئوية. بمعنى آخر ، نحن نعرف الإجمالي لكل صف والإجمالي لكل عمود. بالنسبة للصف الأول ، هناك ج الأعمدة في طاولتنا ، لذلك هناك ج الخلايا. بمجرد أن نعرف قيم جميع هذه الخلايا باستثناء واحدة ، فعندما نعرف إجمالي جميع الخلايا ، فإن مشكلة الجبر البسيطة هي تحديد قيمة الخلية المتبقية. إذا كنا نملأ هذه الخلايا في طاولتنا ، فيمكننا الدخول ج - 1 منهم بحرية ، ولكن بعد ذلك يتم تحديد الخلية المتبقية من خلال إجمالي الصف. وبالتالي هناك ج - 1 درجة حرية للصف الأول.

نواصل بهذه الطريقة للصف التالي ، وهناك مرة أخرى ج - 1 درجات الحرية. تستمر هذه العملية حتى نصل إلى الصف قبل الأخير. يساهم كل من الصفوف باستثناء آخر واحد ج - 1 درجات الحرية للمجموع. في الوقت الذي لدينا فيه جميعًا باستثناء الصف الأخير ، فعندما نعرف مجموع الأعمدة ، يمكننا تحديد جميع إدخالات الصف الأخير. هذا يعطينا ص - 1 صف مع ج - 1 درجة من الحرية في كل منها ، ليصبح المجموع (ص - 1)(ج - 1) درجات الحرية.

نرى هذا بالمثال التالي. لنفترض أن لدينا جدولًا ثنائي الاتجاه مع متغيرين فئيين. يحتوي أحد المتغيرات على ثلاثة مستويات والآخر على مستويين. علاوة على ذلك ، افترض أننا نعرف إجماليات الصفوف والأعمدة لهذا الجدول:

تتوقع الصيغة أن هناك (3-1) (2-1) = درجتين من الحرية. نرى هذا على النحو التالي. لنفترض أننا قمنا بملء الخلية العلوية اليسرى بالرقم 80. سيحدد هذا تلقائيًا الصف الأول بالكامل من الإدخالات:

الآن إذا علمنا أن الإدخال الأول في الصف الثاني هو 50 ، فسيتم ملء بقية الجدول ، لأننا نعرف إجمالي كل صف وعمود:

تمت تعبئة الجدول بالكامل ، ولكن لم يكن لدينا سوى خيارين مجانيين. بمجرد معرفة هذه القيم ، تم تحديد بقية الجدول بالكامل.

على الرغم من أننا لا نحتاج عادةً إلى معرفة سبب وجود العديد من درجات الحرية ، إلا أنه من الجيد معرفة أننا نطبق بالفعل مفهوم درجات الحرية على وضع جديد.