ما هو حساب التفاضل والتكامل؟ التعريف والتطبيقات العملية

حساب التفاضل والتكامل هو فرع من فروع الرياضيات يتضمن دراسة معدلات التغيير. قبل اختراع حساب التفاضل والتكامل ، كانت جميع الرياضيات ثابتة: يمكن أن تساعد فقط في حساب الكائنات التي كانت لا تزال مثالية. لكن الكون يتحرك باستمرار ويتغير. لا توجد كائنات دائمًا - من النجوم الموجودة في الفضاء إلى الجزيئات دون الذرية أو الخلايا في الجسم - في حالة راحة دائمًا. في الواقع ، كل شيء في الكون يتحرك باستمرار. ساعد حساب التفاضل والتكامل في تحديد كيفية تحرك الجسيمات والنجوم والمادة فعليًا وتغييرها في الوقت الفعلي.

يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل في العديد من الحقول التي لا تعتقد عادة أنها ستستخدم مفاهيمها. من بينها الفيزياء والهندسة والاقتصاد والإحصاء والطب. يستخدم حساب التفاضل والتكامل أيضًا في مناطق متباينة مثل السفر إلى الفضاء ، وكذلك تحديد كيفية تفاعل الأدوية مع الجسم ، وحتى كيفية بناء هياكل أكثر أمانًا. ستفهم لماذا يكون حساب التفاضل والتكامل مفيدًا في العديد من المناطق إذا كنت تعرف قليلاً عن تاريخها بالإضافة إلى ما تم تصميمه للقيام به وقياسه.

الوجبات السريعة الرئيسية: النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل

تم تطوير حساب التفاضل والتكامل في النصف الأخير من القرن السابع عشر من قبل اثنين من علماء الرياضيات ، جوتفريد لايبنز و إسحاق نيوتن. طور نيوتن لأول مرة حساب التفاضل والتكامل وطبقه مباشرة على فهم النظم الفيزيائية. بشكل مستقل ، طور لايبنز الرموز المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل. ببساطة ، على الرغم من أن الرياضيات الأساسية تستخدم عمليات مثل الجمع والسالب والأوقات والقسمة (+ و - و x و ÷) ، فإن التفاضل والتكامل يستخدم العمليات التي تستخدم وظائف والتكاملات لحساب معدلات التغيير.

هذه الأدوات سمحت لنيوتن وليبنيز وغيرهم من علماء الرياضيات الذين اتبعوا حساب أشياء مثل الميل الدقيق للمنحنى في أي وقت. قصة الرياضيات يشرح أهمية نظرية نيوتن الأساسية لحساب التفاضل والتكامل:

"على عكس الهندسة الساكنة لليونانيين ، سمح حساب التفاضل والتكامل علماء الرياضيات والمهندسين لفهم معنى الحركة والتغيير الديناميكي في العالم المتغير من حولنا ، مثل مدارات الكواكب ، وحركة السوائل ، إلخ."

باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، يمكن الآن للعلماء وعلماء الفلك والفيزيائيين والرياضيين والكيميائيين رسم خريطة مدار الكواكب والنجوم ، وكذلك مسار الإلكترونات والبروتونات على المستوى الذري.

هناك فرعين من حساب التفاضل والتكامل: التفاضل والتكامل لا يتجزأ. يقول معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا "يدرس حساب التفاضل والتكامل دراسات حساب التفاضل والتكامل المشتقة... جزء لا يتجزأ". ولكن هناك ما هو أكثر مما هو عليه. حساب التفاضل والتكامل يحدد معدل التغير في الكمية. وهو يفحص معدلات تغير المنحدرات والمنحنيات.

يهتم هذا الفرع بدراسة معدل تغيير الوظائف فيما يتعلق بمتغيراتها ، وخاصة من خلال استخدام المشتقات والفوارق. المشتق هو ميل الخط على الرسم البياني. تجد ميل الخط عن طريق حساب ارتفاع على المدى.

حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ، على النقيض من ذلك ، يسعى إلى العثور على الكمية التي يعرف فيها معدل التغيير. يركز هذا الفرع على مفاهيم مثل سفوح خطوط الظل والسرعات. في حين يركز حساب التفاضل والتكامل التفاضلي على المنحنى نفسه ، فإن حساب التفاضل والتكامل المتكامل يهتم بالفضاء أو المساحة تحت المنحنى. يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل المتكامل لتحديد الحجم الكلي أو القيمة ، مثل الأطوال والمساحات والأحجام.

لعبت حساب التفاضل والتكامل دورا أساسيا في تطوير الملاحة في القرنين السابع عشر والثامن عشر لأنه سمح للبحارة باستخدام موقع القمر لتحديد التوقيت المحلي بدقة. لتخطيط موقعهم في البحر ، كان على الملاحين أن يكونوا قادرين على قياس الوقت والزوايا بدقة. قبل تطوير حساب التفاضل والتكامل ، لم يستطع ملاحو السفن والقباطنة القيام بذلك.

ساعد حساب التفاضل والتكامل - المشتق والمتكامل - على تحسين فهم هذا المفهوم المهم من حيث منحنى الأرض ، كان يتعين على السفن البعيدة السفر حول منحنى للوصول إلى موقع محدد ، وحتى محاذاة الأرض والبحار والسفن فيما يتعلق النجوم.

حساب التفاضل والتكامل والعديد من التطبيقات العملية في الحياة الحقيقية. قليلا من ال المفاهيم التي تستخدم حساب التفاضل والتكامل تشمل الحركة ، الكهرباء ، الحرارة ، الضوء ، التوافقيات ، الصوتيات ، وعلم الفلك. يستخدم حساب التفاضل والتكامل في الجغرافيا ، ورؤية الكمبيوتر (مثل القيادة المستقلة للسيارات) ، والتصوير الفوتوغرافي ، والذكاء الاصطناعي ، والروبوتات ، وألعاب الفيديو ، وحتى الأفلام. يستخدم حساب التفاضل والتكامل أيضًا لحساب معدلات الانحلال الإشعاعي في الكيمياء ، وحتى للتنبؤ بمعدلات المواليد والوفيات ، وكذلك في دراسة الجاذبية وحركة الكواكب وتدفق السوائل وتصميم السفن والمنحنيات الهندسية وهندسة الجسور.

في الفيزياء ، على سبيل المثال ، يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل للمساعدة في تحديد وشرح وحساب الحركة ، والكهرباء ، والحرارة ، والضوء ، والتوافقيات ، والصوتيات ، وعلم الفلك ، والديناميات. تعتمد نظرية النسبية لآينشتاين على حساب التفاضل والتكامل ، وهو مجال الرياضيات الذي يساعد الاقتصاديين أيضا على التنبؤ بحجم الربح الذي يمكن أن تحققه الشركة أو الصناعة. و في بناء السفن، تم استخدام حساب التفاضل والتكامل لعدة سنوات لتحديد كل منحنى بدن السفينة (باستخدام التفاضلية حساب التفاضل والتكامل) ، وكذلك المنطقة تحت الهيكل (باستخدام حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ) ، وحتى في التصميم العام لل السفن.

بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل للتحقق من إجابات التخصصات الرياضية المختلفة مثل الإحصاء والهندسة التحليلية والجبر.

يستخدم الاقتصاديون حساب التفاضل والتكامل للتنبؤ بالعرض والطلب والحد الأقصى للأرباح المحتملة. بعد كل شيء ، يتم رسم العرض والطلب بشكل أساسي على منحنى ومنحنى دائم التغير في ذلك.

يستخدم الاقتصاديون حساب التفاضل والتكامل لتحديد مرونة سعر الطلب. يشيرون إلى منحنى العرض والطلب المتغير باستمرار بأنه "مرن" ، وتصرفات المنحنى "مرنة". لحساب مقياس دقيق للمرونة على وجه الخصوص عند الإشارة إلى منحنى العرض أو الطلب ، فأنت بحاجة إلى التفكير في التغييرات الصغيرة التي لا حصر لها في السعر ، ونتيجة لذلك ، قم بدمج المشتقات الرياضية في مرونتك. الصيغ. يتيح لك حساب التفاضل والتكامل تحديد نقاط محددة على منحنى العرض والطلب المتغير باستمرار.

"حساب التفاضل والتكامل ملخص". معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، 10 يناير 2000 ، كامبريدج ، ماساتشوستس.