العامل (!) في الرياضيات والإحصاء

في الرياضيات ، الرموز التي لها بعض المعاني في اللغة الإنجليزية يمكن أن يعني أشياء متخصصة جدا ومختلفة. على سبيل المثال ، ضع في الاعتبار التعبير التالي:

3!

لا ، نحن لم نستخدم علامة تعجب لإظهار أننا متحمسون لثلاثة ، ويجب ألا نقرأ الجملة الأخيرة مع التركيز. في الرياضيات ، التعبير 3! تتم قراءة كـ "ثلاثة عوامل" وهي في الحقيقة طريقة مختصرة للدلالة على تكاثر عدة أعداد متتالية.

نظرًا لوجود العديد من الأماكن في جميع أنحاء الرياضيات والإحصاء ، حيث نحتاج إلى مضاعفة الأرقام معًا ، فإن الأداة مفيدة للغاية. بعض الأماكن الرئيسية التي تظهر فيها هي المجموعات التوافقية والاحتمالية حساب التفاضل والتكامل.

تعريف المضروب هو أنه لأي عدد صحيح موجب ن، مضروب:

ن! = n x (n -1) x (n - 2) x... × 2 × 1

أولاً ، سننظر إلى بعض الأمثلة على المصلح بقيم صغيرة من ن:

• 1! = 1
• 2! = 2 × 1 = 2
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320
• 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362880
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800

كما نرى الفصيل يحصل بسرعة كبيرة جدا. شيء قد يبدو صغيرًا ، مثل 20! في الواقع 19 أرقام.

العوامل سهلة الحساب ، لكنها قد تكون مملة إلى حد ما لحسابها. لحسن الحظ ، العديد من الآلات الحاسبة لديها مفتاح فصيل (ابحث عن! رمز). هذه الوظيفة من الآلة الحاسبة سوف أتمتة الضرب.

إحدى القيم الأخرى للعنصر وقيمة التعريف المعياري أعلاه لا تحتوي على القيمة الخاصة بـ الصفر مضروب. إذا اتبعنا الصيغة ، فلن نصل إلى أي قيمة بقيمة 0!. لا توجد أرقام كاملة موجبة أقل من 0. لعدة أسباب ، من المناسب تحديد 0! = 1. مضروب لهذه القيمة يظهر بشكل خاص في الصيغ ل مجموعات والتباديل.

عند التعامل مع العمليات الحسابية ، من المهم التفكير قبل أن نضغط على المفتاح الحزبي في الآلة الحاسبة الخاصة بنا. لحساب تعبير مثل 100! / 98! هناك عدة طرق مختلفة للقيام بذلك.

طريقة واحدة هي استخدام أ آلة حاسبة للعثور على حد سواء 100! و 98! ، ثم اقسم الواحد على الآخر. على الرغم من أن هذه طريقة حسابية مباشرة ، إلا أنها تواجه بعض الصعوبات المرتبطة بها. لا يمكن لبعض الآلات الحاسبة التعامل مع التعبيرات التي يصل حجمها إلى 100! = 9.33262154 × 10¹⁵⁷. (التعبير 10¹⁵⁷ هي علامة علمية تعني أننا نضربها برمز واحد متبوعًا بـ 157 أصفار.) ليس هذا الرقم كبيرًا فحسب ، بل هو أيضًا تقدير للقيمة الحقيقية 100!

هناك طريقة أخرى لتبسيط تعبير مع الفصائل مثل التي نراها هنا لا تتطلب آلة حاسبة على الإطلاق. طريقة التعامل مع هذه المشكلة هي إدراك أنه يمكننا إعادة كتابة 100! ليس 100 × 99 × 98 × 97 ×... × 2 × 1 ، ولكن بدلاً من 100 × 99 × 98! التعبير 100! / 98! أصبح الآن (100 × 99 × 98!) / 98! = 100 × 99 = 9900.