وضع النظرية وكيف يتم استخدامها

نظرية المجموعات هي مفهوم أساسي في كل الرياضيات. هذا الفرع من الرياضيات يشكل أساسًا لمواضيع أخرى.

مجموعة الحدس هي مجموعة من الكائنات ، والتي تسمى العناصر. على الرغم من أن هذا يبدو فكرة بسيطة ، إلا أن له بعض التبعات بعيدة المدى.

لا يمكن أن تكون عناصر المجموعة حقًا أي شيء - الأرقام أو الولايات أو السيارات أو الأشخاص أو حتى المجموعات الأخرى كلها إمكانيات للعناصر. قد يتم استخدام أي شيء يمكن جمعه معًا لتشكيل مجموعة ، على الرغم من وجود بعض الأشياء التي يجب أن نكون حريصين عليها.

عناصر المجموعة إما في مجموعة أو في مجموعة. قد نصف مجموعة بواسطة خاصية محددة ، أو قد ندرج العناصر في المجموعة. ترتيب أن يتم سردها ليست مهمة. إذن المجموعات {1 ، 2 ، 3} و {1 ، 3 ، 2} هي مجموعات متساوية ، لأن كلاهما يحتوي على نفس العناصر.

مجموعتان تستحق الذكر بشكل خاص. الأول هو مجموعة عالمية ، وعادة ما يشار إليها يو. هذه المجموعة هي كل العناصر التي قد نختار منها. قد تكون هذه المجموعة مختلفة من إعداد إلى آخر. على سبيل المثال ، قد تكون مجموعة عالمية واحدة هي مجموعة أرقام حقيقية بينما بالنسبة لمشكلة أخرى ، قد تكون المجموعة الشاملة هي الأعداد الصحيحة {0 ، 1 ، 2 ، ...}.

المجموعة الأخرى التي تتطلب بعض الاهتمام تسمى مجموعة فارغة. المجموعة الفارغة هي المجموعة الفريدة هي المجموعة بدون عناصر. يمكننا كتابة هذا كـ {} والإشارة إلى هذه المجموعة بالرمز ∅.

مجموعة من بعض عناصر المجموعة أ يسمى أ مجموعة فرعية من أ. نحن نقول ذلك أ هي مجموعة فرعية من ب إذا وفقط إذا كان كل عنصر من عناصر أ هو أيضا عنصر من ب. إذا كان هناك عدد محدود ن من العناصر في مجموعة ، ثم هناك ما مجموعه 2^ن مجموعات فرعية من أ. هذه المجموعة من جميع مجموعات فرعية من أ هي مجموعة تسمى مجموعة الطاقة من أ.

تمامًا كما يمكننا القيام بعمليات مثل الإضافة - على رقمين للحصول على رقم جديد ، تُستخدم عمليات نظرية المجموعة لتكوين مجموعة من مجموعتين أخريين. هناك عدد من العمليات ، ولكن كلها تتكون من العمليات الثلاث التالية:

• اتحاد - الاتحاد يدل على الجمع. اتحاد المجموعات أ و ب يتكون من العناصر الموجودة في أي منهما أ أو ب.
• تداخل - التقاطع هو حيث يلتقي شيئين. تقاطع المجموعات أ و ب يتكون من العناصر التي في كليهما أ و ب.
• تكملة - تكملة المجموعة أ يتكون من جميع العناصر في المجموعة العالمية التي ليست عناصر أ.

أداة واحدة مفيدة في تصوير العلاقة بين مجموعات مختلفة تسمى مخطط فين. يمثل المستطيل المجموعة العالمية لمشكلتنا. يتم تمثيل كل مجموعة مع دائرة. إذا تداخلت الدوائر مع بعضها البعض ، فإن هذا يوضح تقاطع مجموعتنا.

يتم تعيين نظرية مجموعة في جميع أنحاء الرياضيات. يتم استخدامه كأساس للعديد من الحقول الفرعية للرياضيات. في المجالات المتعلقة بالإحصاءات ، يتم استخدامه بشكل خاص في الاحتمال. الكثير من المفاهيم في الاحتمال مستمدة من عواقب نظرية المجموعات. في الواقع ، طريقة واحدة لدولة البديهيات الاحتمالية ينطوي على نظرية مجموعة.