عندما يكون الانحراف المعياري يساوي الصفر

ال الانحراف المعياري للعينة هو إحصاء وصفي يقيس انتشار مجموعة بيانات كمية. يمكن أن يكون هذا الرقم أي رقم حقيقي غير سالب. لأن الصفر غير سالب عدد حقيقي، يبدو من المفيد أن نسأل ، "متى يكون انحراف العينة القياسي يساوي الصفر؟" يحدث هذا في الحالة الخاصة جدًا وغير العادية للغاية عندما تكون جميع قيم البيانات لدينا هي نفسها تمامًا. سوف نستكشف أسباب ذلك.

هناك سؤالان مهمان نريد عادةً الإجابة عليهما حول مجموعة بيانات ، وهما:

• ما هو مركز مجموعة البيانات؟
• ما مدى انتشار مجموعة البيانات؟

هناك قياسات مختلفة تسمى الإحصائيات الوصفية تجيب على هذه الأسئلة. على سبيل المثال ، مركز البيانات ، والمعروف أيضًا باسم معدل، يمكن وصفها من حيث المتوسط ​​أو الوسيط أو الوضع. ويمكن استخدام إحصاءات أخرى أقل شهرة مثل midhinge أو التريم.

لنشر بياناتنا ، يمكننا استخدام النطاق ، النطاق الربيعي أو الانحراف المعياري. يقترن الانحراف المعياري بمتوسط ​​قياس انتشار بياناتنا. يمكننا بعد ذلك استخدام هذا الرقم لمقارنة مجموعات بيانات متعددة. كلما زاد الانحراف المعياري لدينا ، كلما زاد الانتشار.

لذلك دعونا نفكر من هذا الوصف في معنى انحراف معياري للصفر. قد يشير هذا إلى عدم وجود فرق على الإطلاق في مجموعة البيانات الخاصة بنا. سيتم تجميع كل قيم البيانات الفردية معًا بقيمة واحدة. نظرًا لأنه لن تكون هناك سوى قيمة واحدة يمكن أن تحتوي عليها بياناتنا ، فإن هذه القيمة ستشكل متوسط ​​العينة لدينا.

في هذه الحالة ، عندما تكون جميع قيم البيانات لدينا هي نفسها ، فلن يكون هناك اختلاف على الإطلاق. من المنطقي أن يكون الانحراف المعياري لمجموعة البيانات هذه صفرًا.

يتم تعريف الانحراف المعياري للعينة بواسطة صيغة. لذلك يجب إثبات أي عبارة مثل العبارة أعلاه باستخدام هذه الصيغة. نبدأ بمجموعة بيانات تناسب الوصف أعلاه: جميع القيم متطابقة ، وهناك ن قيم تساوي س.

نحسب متوسط ​​مجموعة البيانات هذه ونرى أنها كذلك

س = (س + س +... + س)/ن = nx/ن = س.

الآن عندما نحسب الانحرافات الفردية من المتوسط ​​، نرى أن كل هذه الانحرافات صفر. وبالتالي ، فإن التباين والانحراف المعياري كلاهما يساوي الصفر أيضًا.

نرى أنه إذا لم تعرض مجموعة البيانات أي اختلاف ، فإن انحرافها القياسي هو صفر. قد نسأل إذا كان العكس هذا البيان صحيح أيضا. لمعرفة ما إذا كانت كذلك ، سنستخدم صيغة الانحراف المعياري مرة أخرى. هذه المرة ، ومع ذلك ، سنحدد الانحراف المعياري يساوي الصفر. لن نقوم بافتراضات حول مجموعة البيانات الخاصة بنا ، ولكننا سنرى ما هو الإعداد س = 0 يعني

افترض أن الانحراف المعياري لمجموعة البيانات يساوي صفر. وهذا يعني أن تباين العينة س² يساوي أيضا الصفر. والنتيجة هي المعادلة:

0 = (1/(ن - 1)) ∑ (س_أنا - س )²

نضرب طرفي المعادلة ب ن - 1 وانظر إلى أن مجموع الانحرافات المربعة يساوي الصفر. نظرًا لأننا نعمل مع أرقام حقيقية ، فإن الطريقة الوحيدة لحدوث ذلك هي أن يكون كل انحراف مربع يساوي الصفر. هذا يعني أنه لكل شخص أنا، المصطلح (س_أنا - س )² = 0.

نأخذ الآن الجذر التربيعي للمعادلة المذكورة أعلاه ونرى أن كل انحراف عن المتوسط ​​يجب أن يكون مساوياً للصفر. منذ ذلك الحين للجميع أنا,

س_أنا - س = 0

هذا يعني أن كل قيمة بيانات تساوي الوسط. تسمح لنا هذه النتيجة جنبًا إلى جنب مع النتيجة أعلاه أن نقول أن نموذج الانحراف المعياري لمجموعة البيانات هو صفر إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها متطابقة.