لماذا يساوي الصفر عامل واحد؟

العامل الضريبي هو تعبير رياضي لعدد الطرق لترتيب مجموعة بيانات لا تحتوي على قيم ، وهو ما يساوي واحدًا. بشكل عام ، عاملي الرقم هو طريقة مختصرة لكتابة تعبير الضرب حيث يتم ضرب الرقم في كل رقم أقل منه ولكن أكبر من الصفر. 4! = 24 ، على سبيل المثال ، هو نفسه كتابة 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ، ولكن يستخدم المرء علامة تعجب على يمين الرقم العاملي (أربعة) للتعبير عن نفس المعادلة.

من الواضح من هذه الأمثلة كيفية حساب مضروب أي عدد صحيح أكبر من أو يساوي واحدولكن لماذا تكون قيمة الصفر عاملاً على الرغم من القاعدة الرياضية التي تقول بأن أي شيء مضروبًا في الصفر يساوي الصفر؟

تعريف عامل الضرب أن 0! = 1. هذا يربك الناس عادة في المرة الأولى التي يرون فيها هذه المعادلة ، لكننا سنرى في أدناه أمثلة لماذا يكون هذا منطقيًا عندما تنظر إلى تعريف وتبديلات وصيغ الصفر عاملي.

السبب الأول لكون عامل الصفر يساوي واحدًا هو أن هذا هو ما يقول التعريف أنه يجب أن يكون ، وهو تفسير صحيح رياضيًا (إذا كان غير ملائم إلى حد ما). ومع ذلك ، يجب على المرء أن يتذكر أن تعريف العامل هو نتاج جميع الأعداد الصحيحة التي تساوي أو تقل قيمتها الرقم الأصلي - بمعنى آخر ، العامل المضروب هو عدد التركيبات الممكنة بأرقام أقل من أو تساوي ذلك رقم.

نظرًا لأن الصفر لا يحتوي على أرقام أقل منه ولكنه لا يزال في حد ذاته رقمًا ، فلا يوجد سوى مزيج واحد محتمل لكيفية ترتيب مجموعة البيانات هذه: لا يمكن ذلك. لا يزال هذا يُحسب كوسيلة لترتيبه ، لذا ، بحكم التعريف ، يساوي عامل الضرب واحدًا ، تمامًا مثل 1! يساوي واحدًا لأنه لا يوجد سوى ترتيب واحد محتمل لمجموعة البيانات هذه.

لفهم أفضل لكيفية جعل هذا منطقيًا من الناحية الرياضية ، من المهم ملاحظة أنه يتم استخدام عوامل مثل هذه لتحديد الطلبات المحتملة للمعلومات في التسلسل ، المعروف أيضًا بالتبديلات ، والذي يمكن أن يكون مفيدًا في فهم أنه على الرغم من عدم وجود قيم في مجموعة فارغة أو صفر ، لا تزال هناك طريقة واحدة لهذه المجموعة هي ترتيبها.

أ التقليب هو ترتيب محدد وفريد ​​للعناصر في مجموعة. على سبيل المثال ، هناك ستة تبديلات للمجموعة {1 ، 2 ، 3} ، والتي تحتوي على ثلاثة عناصر ، حيث يمكننا كتابة هذه العناصر بالطرق الست التالية:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

يمكننا أيضًا أن نذكر هذه الحقيقة من خلال المعادلة 3! = 6 ، وهو تمثيل عاملي لمجموعة التباديل الكاملة. بطريقة مماثلة ، هناك 4! = 24 تبديل لمجموعة تتكون من أربعة عناصر و 5! = 120 تبديل مجموعة من خمسة عناصر. لذا فإن طريقة بديلة للتفكير في العامل هي السماح ن يكون رقمًا طبيعيًا ويقول ذلك ن! هو عدد التباديل لمجموعة مع ن عناصر.

بهذه الطريقة في التفكير في العامل ، دعنا نلقي نظرة على مثالين آخرين. مجموعة مع عنصرين لديها تبادلين: {a، b} يمكن ترتيبها كـ a أو b أو b ، أ. هذا يتوافق مع 2! = 2. تحتوي المجموعة التي تحتوي على عنصر واحد على تبديل واحد ، حيث يمكن طلب العنصر 1 في المجموعة {1} بطريقة واحدة فقط.

هذا يقودنا إلى صفر عاملي. المجموعة مع عناصر الصفر تسمى مجموعة فارغة. للعثور على قيمة صفر عاملي ، نسأل ، "كم عدد الطرق التي يمكننا من خلالها طلب مجموعة بدون عناصر؟" هنا نحتاج إلى توسيع تفكيرنا قليلاً. على الرغم من عدم وجود شيء لوضعه في النظام ، إلا أن هناك طريقة واحدة للقيام بذلك. وبالتالي لدينا 0! = 1.

سبب آخر لتعريف 0! = 1 له علاقة بالصيغ التي نستخدمها للتبديل والتركيبات. لا يفسر هذا سبب كون الضرب الصفري واحدًا ، ولكنه يوضح سبب تحديد القيمة 0! = 1 فكرة جيدة.

المزيج هو مجموعة من عناصر مجموعة دون اعتبار للنظام. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجموعة {1 ، 2 ، 3} ، حيث توجد مجموعة واحدة تتكون من جميع العناصر الثلاثة. بغض النظر عن كيفية ترتيب هذه العناصر ، فإننا ننتهي بنفس التركيبة.

نحن نستخدم صيغة المجموعات مع الجمع بين ثلاثة عناصر تؤخذ ثلاثة في وقت واحد ونرى أن 1 = ج (3, 3) = 3!/(3! 0!) ، وإذا تعاملنا مع 0! ككمية غير معروفة وحلها جبريًا ، نرى أن 3! 0! = 3! وهكذا 0! = 1.

هناك أسباب أخرى لتعريف 0! = 1 صحيح ، ولكن الأسباب المذكورة أعلاه هي الأكثر وضوحًا. الفكرة العامة في الرياضيات هي أنه عندما يتم بناء أفكار وتعريفات جديدة ، فإنها تبقى بما يتفق مع الرياضيات الأخرى ، وهذا بالضبط ما نراه في تعريف عامل الضرب يساوي واحد.