ما هو الفرق بين مجموعتين في نظرية المجموعات؟

الفرق بين مجموعتين مكتوب أ - ب هي مجموعة من جميع عناصر أ ليست عناصر ب. إن عملية الاختلاف إلى جانب الاتحاد والتقاطع مهمة وحيوية عملية نظرية المجموعة الأساسية.

يمكن التفكير في طرح عدد من آخر بطرق مختلفة. أحد النماذج للمساعدة في فهم هذا المفهوم يسمى نموذج الوجبات الجاهزة الطرح. في هذا ، سيتم توضيح المشكلة 5 - 2 = 3 من خلال البدء بخمس أشياء ، وإزالة اثنين منها ، وإحصاء أنه لا يزال هناك ثلاثة أشياء متبقية. بطريقة مماثلة نجد الفرق بين رقمين ، يمكننا أن نجد الفرق بين مجموعتين.

سنلقي نظرة على مثال للفرق المحدد. لنرى كيف الفرق بين اثنين مجموعات تشكل مجموعة جديدة ، دعونا نفكر في المجموعات أ = {1 و 2 و 3 و 4 و 5} و ب = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. لإيجاد الفرق أ - ب من هاتين المجموعتين ، نبدأ بكتابة جميع عناصر أثم نزيل كل عنصر من عناصر أ هذا أيضا عنصر ب. منذ أ يشارك العناصر 3 و 4 و 5 مع ب، هذا يعطينا الفرق المحدد أ - ب = {1, 2}.

مثلما تعطينا الاختلافات 4 - 7 و 7 - 4 إجابات مختلفة ، يجب أن نكون حذرين بشأن الترتيب الذي نحسب به الفرق المحدد. لاستخدام مصطلح تقني من الرياضيات ، يمكننا القول أن عملية الاختلاف المحددة ليست تبادلية. هذا يعني أنه بشكل عام لا يمكننا تغيير ترتيب الفرق بين مجموعتين ونتوقع نفس النتيجة. يمكننا أن نقول بشكل أكثر دقة لجميع المجموعات

لمشاهدة هذا ، ارجع إلى المثال أعلاه. حسبنا ذلك للمجموعات أ = {1 و 2 و 3 و 4 و 5} و ب = {3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8} ، الفرق أ - ب = {1, 2 }. لمقارنة هذا بـ ب - أ، نبدأ بعناصر ب، وهي 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، ثم قم بإزالة 3 و 4 و 5 لأن هذه مشتركة مع أ. النتيجه هي ب - أ = {6, 7, 8 }. هذا المثال يوضح لنا ذلك بوضوح أ - ب لا يساوي ب - أ.

نوع واحد من الاختلاف مهم بما يكفي لتبرير اسمه الخاص ورمزه. ويسمى هذا المكمل ، ويستخدم للفرق المضبوطة عندما المجموعة الأولى هي المجموعة العالمية. تكملة أ من التعبير ش - أ. هذا يشير إلى مجموعة جميع العناصر في المجموعة العالمية التي ليست عناصر أ. لأنه من المفهوم أن مجموعة من العناصر التي يمكن أن نختار منها مأخوذة من المجموعة العالمية ، يمكننا ببساطة أن نقول أن مكمل أ هي مجموعة تتألف من عناصر ليست عناصر أ.

تكملة المجموعة تتعلق بالمجموعة العالمية التي نعمل معها. مع أ = {1 و 2 و 3} و ش = {1، 2، 3، 4، 5} ، مكمل أ {4، 5}. إذا كانت مجموعتنا العالمية مختلفة ، على سبيل المثال ش = {-3 ، -2 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3} ، ثم مكمل أ {-3, -2, -1, 0}. تأكد دائمًا من الانتباه إلى المجموعة العالمية المستخدمة.

تبدأ كلمة "مكمل" بالحرف C ، وبالتالي يتم استخدامها في التدوين. تكملة المجموعة أ مكتوب كـ أ^ج. لذا يمكننا التعبير عن تعريف المكمل في الرموز على النحو التالي: أ^ج = ش - أ.

هناك طريقة أخرى شائعة للإشارة إلى تكملة مجموعة تتضمن الفاصلة العليا ، ويتم كتابتها على النحو التالي أ'.

هناك العديد من الهويات المحددة التي تنطوي على استخدام الاختلافات وتكملة العمليات. تجمع بعض الهويات عمليات مجموعة أخرى مثل تداخل و اتحاد. ويرد عدد قليل من أهم أدناه. لجميع المجموعات أو ب و د نملك:

• أ - أ =∅
• أ - ∅ = أ
• ∅ - أ = ∅
• أ - ش = ∅
• (أ^ج)^ج = أ
• قانون DeMorgan الأول: (أ ∩ ب)^ج = أ^ج ∪ ب^ج
• قانون DeMorgan الثاني: (أ ∪ ب)^ج = أ^ج ∩ ب^ج