يمكن أن يبدو العد مهمة سهلة التنفيذ. بينما نتعمق في منطقة الرياضيات معروف ك التوافقية، ندرك أننا صادفنا بعض الأرقام الكبيرة. منذ عاملي يظهر في كثير من الأحيان ، ورقم مثل 10! أكبر من ثلاثة مليون، يمكن أن يصبح حساب المشاكل معقدًا بسرعة كبيرة إذا حاولنا سرد جميع الاحتمالات.
في بعض الأحيان عندما نفكر في جميع الاحتمالات التي يمكن أن تأخذها مشاكل العد لدينا ، من السهل التفكير من خلال المبادئ الأساسية للمشكلة. يمكن أن تستغرق هذه الاستراتيجية وقتًا أقل بكثير من تجربة القوة الغاشمة لإدراج عدد من تركيبات أو تبديل.
السؤال "كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟" هو سؤال مختلف تمامًا عن "ما هي الطرق أن شيئًا ما يمكن القيام به؟ "سنرى هذه الفكرة في العمل في المجموعة التالية من العد الصعب مشاكل.
تتضمن مجموعة الأسئلة التالية كلمة TRIANGLE. لاحظ أن هناك ما مجموعه ثمانية أحرف. فليكن ان يفهم ان الحروف المتحركة كلمة TRIANGLE هي AEI ، والحروف الساكنة لكلمة TRIANGLE هي LGNRT. لتحدي حقيقي ، قبل قراءة المزيد تحقق من نسخة من هذه المشاكل بدون حلول.
المشكلات
- كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب حروف كلمة TRIANGLE؟
المحلول: هنا يوجد ما مجموعه ثمانية خيارات للحرف الأول ، سبعة للحرف الثاني ، ستة للحرف الثالث ، وهلم جرا. بمبدأ الضرب نضرب ما مجموعه 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8! = 40320 طرق مختلفة. - كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب حروف الكلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن تكون الأحرف الثلاثة الأولى RAN (بهذا الترتيب بالضبط)؟
المحلول: تم اختيار الأحرف الثلاثة الأولى لنا ، وترك لنا خمسة أحرف. بعد RAN لدينا خمسة خيارات للحرف التالي تليها أربعة ، ثم ثلاثة ، ثم اثنان ثم واحد. بمبدأ الضرب ، هناك 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 طريقة لترتيب الحروف بطريقة محددة. - كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب أحرف كلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن تكون الأحرف الثلاثة الأولى RAN (بأي ترتيب)؟
المحلول: انظر إلى هذا على أنه مهمتان مستقلتان: الأولى ترتب الحروف RAN ، والثانية ترتب الحروف الخمسة الأخرى. هناك 3! = 6 طرق لترتيب RAN و 5! طرق ترتيب الحروف الخمسة الأخرى. لذلك هناك ما مجموعه 3! × 5! = 720 طريقة لترتيب حروف المثلث كما هو محدد. - كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب أحرف كلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن تكون الأحرف الثلاثة الأولى RAN (بأي ترتيب) ويجب أن يكون الحرف الأخير حرفًا متحركًا؟
المحلول: انظر إلى هذا على أنه ثلاث مهام: الأولى ترتب الحروف RAN ، والثانية تختار حرفًا متحركًا من I و E ، والثالثة ترتب الحروف الأربعة الأخرى. هناك 3! = 6 طرق لترتيب RAN ، طريقتان لاختيار حرف متحرك من الأحرف المتبقية و 4! طرق ترتيب الحروف الأربعة الأخرى. لذلك هناك ما مجموعه 3! × 2 × 4! = 288 طريقة لترتيب حروف المثلث كما هو محدد. - كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب أحرف كلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن تكون الأحرف الثلاثة الأولى RAN (بأي ترتيب) ويجب أن تكون الأحرف الثلاثة التالية TRI (بأي ترتيب)؟
المحلول: مرة أخرى لدينا ثلاث مهام: الأول يرتب الحروف RAN ، والثاني يرتب الحروف TRI ، والثالث يرتب الحرفين الآخرين. هناك 3! = 6 طرق لترتيب RAN ، 3! طرق لترتيب TRI وطريقتين لترتيب الحروف الأخرى. لذلك هناك ما مجموعه 3! × 3! × 2 = 72 طريقة لترتيب حروف المثلث كما هو محدد. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب أحرف كلمة TRIANGLE إذا كان لا يمكن تغيير ترتيب ومكان حروف العلة؟
المحلول: يجب الاحتفاظ بأحرف العلة الثلاثة بنفس الترتيب. الآن هناك ما مجموعه خمسة حروف ساكنة لترتيبها. يمكن القيام بذلك في 5! = 120 طريقة. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب أحرف الكلمة TRIANGLE إذا كان ترتيب حروف العلة لا يمكن يمكن تغييرها ، على الرغم من أن موضعها (IAETRNGL و TRIANGEL مقبولان ولكن EIATRNGL و TRIENGLA مقبولة ليس)؟
المحلول: من الأفضل التفكير بذلك في خطوتين. الخطوة الأولى هي اختيار الأماكن التي تذهب إليها حروف العلة. نحن هنا نختار ثلاثة أماكن من أصل ثمانية ، والترتيب الذي نقوم به ليس مهمًا. هذا مزيج وهناك ما مجموعه ج(8،3) = 56 طريقة للقيام بهذه الخطوة. يمكن ترتيب الأحرف الخمسة المتبقية في 5! = 120 طريقة. هذا يعطي ما مجموعه 56 × 120 = 6720 ترتيبات. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب أحرف كلمة TRIANGLE إذا كان من الممكن تغيير ترتيب حروف العلة ، على الرغم من أن موضعها قد لا يحدث؟
المحلول: هذا هو نفس الشيء مثل رقم 4 أعلاه ، ولكن بأحرف مختلفة. نرتب ثلاث رسائل في 3! = 6 طرق والأحرف الخمسة الأخرى في 5! = 120 طريقة. العدد الإجمالي للطرق لهذا الترتيب هو 6 × 120 = 720. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب ستة أحرف من كلمة TRIANGLE؟
المحلول: بما أننا نتحدث عن ترتيب ، فإن هذا التقليب وهناك ما مجموعه ص( 8, 6) = 8!/2! = 20،160 طريقة. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب ستة أحرف من كلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن يكون هناك عدد متساوٍ من حروف العلة والحروف الساكنة؟
المحلول: هناك طريقة واحدة لتحديد حروف العلة التي سنضعها. يمكن اختيار الحروف الساكنة في ج(5 ، 3) = 10 طرق. ثم هناك 6! طرق لترتيب الحروف الستة. اضرب هذه الأرقام معًا في نتيجة 7200. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب ستة أحرف من كلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن يكون هناك حرف ساكن واحد على الأقل؟
المحلول: كل ترتيب من ستة أحرف يفي بالشروط ، لذلك هناك ص(8 ، 6) = 20،160 طريقة. - كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب ستة أحرف من الكلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن تتناوب حروف العلة مع الحروف الساكنة؟
المحلول: هناك احتمالان ، الحرف الأول هو حرف علة أو الحرف الأول ساكن. إذا كان الحرف الأول حرفًا متحركًا ، فلدينا ثلاثة خيارات ، تليها خمسة للحروف الساكنة ، واثنان لحرف متحرك ثان ، وأربعة لحرف ساكن ثان ، وواحد لحرف العلة الأخير وثلاثة للحرف الساكن الأخير. نضرب هذا للحصول على 3 × 5 × 2 × 4 × 1 × 3 = 360. بواسطة حجج التناظر ، هناك نفس عدد الترتيبات التي تبدأ بحرف ساكن. هذا يعطي ما مجموعه 720 ترتيبات. - كم عدد المجموعات المختلفة المكونة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة TRIANGLE؟
المحلول: بما أننا نتحدث عن أ جلس من أربعة أحرف من ثمانية ، الترتيب ليس مهما. نحن بحاجة لحساب التركيبة ج(8, 4) = 70. - كم عدد المجموعات المختلفة المكونة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة TRIANGLE التي تحتوي على حرفين متحركين واثنين من الحروف الساكنة؟
المحلول: هنا نقوم بتشكيل مجموعتنا في خطوتين. يوجد ج(3 ، 2) = 3 طرق لاختيار حرفين متحركين من إجمالي 3. يوجد ج(5 ، 2) = 10 طرق لاختيار الحروف الساكنة من بين الخمسة المتاحة. هذا يعطي مجموع 3x10 = 30 مجموعة ممكنة. - كم عدد المجموعات المختلفة المكونة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة TRIANGLE إذا كنا نريد حرفًا متحركًا واحدًا على الأقل؟
المحلول: يمكن حساب ذلك على النحو التالي:
- عدد مجموعات أربعة مع حرف متحرك واحد ج(3 ، 1) س ج( 5, 3) = 30.
- عدد مجموعات أربعة مع اثنين من أحرف العلة هو ج(3 ، 2) س ج( 5, 2) = 30.
- عدد مجموعات أربعة مع ثلاثة أحرف العلة هو ج(3 ، 3) س ج( 5, 1) = 5.
هذا يعطي ما مجموعه 65 مجموعات مختلفة. بالتناوب يمكننا أن نحسب أن هناك 70 طريقة لتشكيل مجموعة من أي أربعة أحرف وطرح ج(5 ، 4) = 5 طرق للحصول على مجموعة بدون حروف العلة.