عدم المساواة في الاحتمال في Chebyshev

يقول عدم المساواة في Chebyshev أن 1-1 / على الأقلك² من البيانات من عينة يجب أن تقع ضمن ك الانحرافات المعيارية عن المتوسط ​​(هنا ك أي شيء إيجابي عدد حقيقي أكبر من واحد).

أي مجموعة بيانات يتم توزيعها بشكل طبيعي ، أو على شكل منحنى الجرس، لديه العديد من الميزات. يتعامل أحدها مع انتشار البيانات نسبة إلى عدد الانحرافات المعيارية عن المتوسط. في التوزيع الطبيعي ، نعلم أن 68٪ من البيانات هي انحراف معياري واحد عن المتوسط ​​، 95٪ اثنان الانحرافات المعيارية عن المتوسط ​​، وحوالي 99٪ ضمن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط.

ولكن إذا لم يتم توزيع مجموعة البيانات على شكل منحنى الجرس ، فقد يكون هناك مقدار مختلف ضمن انحراف معياري واحد. يوفر عدم المساواة في Chebyshev طريقة لمعرفة أي جزء من البيانات يقع ضمنه ك الانحرافات المعيارية عن المتوسط أي مجموعة بيانات.

يمكننا أيضًا ذكر عدم المساواة أعلاه عن طريق استبدال عبارة "بيانات من عينة" بـ توزيع الاحتمالات. هذا لأن عدم المساواة في Chebyshev هو نتيجة الاحتمال ، والتي يمكن تطبيقها بعد ذلك على الإحصائيات.

من المهم أن نلاحظ أن هذا التفاوت هو نتيجة ثبتت رياضيا. إنه ليس مثل

لتوضيح عدم المساواة ، سننظر في ذلك لعدد قليل من القيم ك:

• إلى عن على ك = 2 لدينا 1 - 1 /ك² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. لذلك ، يشير عدم المساواة في Chebyshev إلى أن 75 ٪ على الأقل من قيم البيانات لأي توزيع يجب أن تكون ضمن انحرافين معياريين للمتوسط.
• إلى عن على ك = 3 لدينا 1 - 1 /ك² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. إذاً ، يشير عدم المساواة في Chebyshev إلى أن 89٪ على الأقل من قيم البيانات لأي توزيع يجب أن تكون ضمن ثلاثة انحرافات معيارية للمتوسط.
• إلى عن على ك = 4 لدينا 1 - 1 /ك² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. لذلك ، يشير عدم المساواة في Chebyshev إلى أن 93.75 ٪ على الأقل من قيم البيانات لأي توزيع يجب أن تكون ضمن انحرافين معياريين للمتوسط.

لنفترض أننا قد أخذنا عينات من أوزان الكلاب في ملجأ الحيوانات المحلية ووجدنا أن متوسط ​​العينة لدينا يبلغ 20 رطلاً مع انحراف معياري 3 أرطال. باستخدام عدم المساواة في Chebyshev ، نحن نعلم أن 75 ٪ على الأقل من الكلاب التي أخذنا عيناتها لها أوزان تمثل انحرافين معياريين عن المتوسط. مرتين يعطينا الانحراف المعياري 2 × 3 = 6. اطرح وأضف هذا من متوسط ​​20. هذا يخبرنا أن 75٪ من الكلاب لها وزن من 14 رطل إلى 26 رطلاً.

إذا كنا نعرف المزيد عن التوزيع الذي نعمل معه ، فيمكننا عادةً ضمان أن المزيد من البيانات هي عدد معين من الانحرافات المعيارية بعيدًا عن المتوسط. على سبيل المثال ، إذا علمنا أن لدينا توزيعًا طبيعيًا ، فإن 95٪ من البيانات تمثل انحرافين معياريين عن المتوسط. يقول عدم المساواة في Chebyshev أنه في هذه الحالة نعرف ذلك على الأقل 75٪ من البيانات هي انحرافان معياريان عن المتوسط. كما نرى في هذه الحالة ، يمكن أن يكون أكثر بكثير من 75 ٪.

إن قيمة عدم المساواة هي أنه يعطينا سيناريو "أسوأ حالة" حيث تكون الأشياء الوحيدة التي نعرفها عن نموذج بياناتنا (أو توزيع الاحتمالات) هي المتوسط ​​و الانحراف المعياري. عندما لا نعرف شيئًا آخر عن بياناتنا ، فإن عدم المساواة في Chebyshev يوفر بعض الأفكار الإضافية حول مدى انتشار مجموعة البيانات.

تم تسمية عدم المساواة بعد عالم الرياضيات الروسي Pafnuty Chebyshev ، الذي ذكر لأول مرة عدم المساواة دون دليل في عام 1874. بعد عشر سنوات ، أثبت ماركوف عدم المساواة في شهادة الدكتوراه. أطروحة. نظرًا للاختلافات في كيفية تمثيل الأبجدية الروسية في اللغة الإنجليزية ، فإنه يتم تهجئة Chebyshev أيضًا باسم Tchebysheff.