ورقة عمل لعدم المساواة في Chebyshev

عدم المساواة في Chebyshev يقول أن على الأقل 1 -1 /ك² من البيانات من عينة يجب أن تقع ضمن كانحرافات معيارية من تعني، أينك أي شيء إيجابي عدد حقيقي أكبر من واحد. هذا يعني أننا لسنا بحاجة إلى معرفة شكل توزيع بياناتنا. باستخدام المتوسط ​​والانحراف المعياري فقط ، يمكننا تحديد مقدار البيانات لعدد معين من الانحرافات المعيارية عن المتوسط.

فيما يلي بعض المشاكل للتدرب على استخدام عدم المساواة.

يبلغ ارتفاع صف طلاب الصف الثاني خمسة أقدام مع انحراف معياري يبلغ بوصة واحدة. على الأقل ما هي النسبة المئوية للفصل بين 4 و 10 بوصات و 5 و 2 "؟

الارتفاعات المعطاة في النطاق أعلاه تقع ضمن انحرافين معياريين من متوسط ​​ارتفاع خمسة أقدام. تقول عدم المساواة في Chebyshev أن 1 - 1/2 على الأقل² = 3/4 = 75٪ من الفصل في نطاق الارتفاع المحدد.

تم العثور على أجهزة الكمبيوتر من شركة معينة تستمر في المتوسط ​​لمدة ثلاث سنوات دون أي عطل في الأجهزة ، مع انحراف معياري لمدة شهرين. على الأقل ما هي النسبة المئوية لأجهزة الكمبيوتر التي تستمر بين 31 شهرًا و 41 شهرًا؟

متوسط ​​عمر ثلاث سنوات يتوافق مع 36 شهرًا. الأوقات من 31 شهرًا إلى 41 شهرًا هي 5/2 = 2.5 انحراف معياري عن المتوسط. من عدم المساواة في Chebyshev ، على الأقل 1 - 1 / (2.5) 6

تعيش البكتيريا في ثقافة ما لمدة متوسطها ثلاث ساعات مع انحراف معياري لمدة 10 دقائق. على الأقل أي جزء من البكتيريا تعيش بين ساعتين وأربع ساعات؟

كل ساعتين وأربع ساعات على بعد ساعة واحدة من المتوسط. ساعة واحدة تقابل ستة انحرافات معيارية. لذا على الأقل 1 - 6/1² = 35/36 = 97٪ من البكتيريا تعيش ما بين ساعتين وأربع ساعات.

ما هو أقل عدد من الانحرافات المعيارية عن المتوسط ​​الذي يجب أن نذهب إليه إذا أردنا التأكد من أن لدينا ما لا يقل عن 50٪ من بيانات التوزيع؟

هنا نستخدم عدم المساواة في Chebyshev ونعمل إلى الوراء. نريد 50٪ = 0.50 = 1/2 = 1 - 1 /ك². الهدف هو استخدام الجبر لحلها ك.

نرى أن 1/2 = 1 /ك². اضرب بالصليب وانظر 2 =ك². نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين ، ومنذ ذلك الحين ك هو عدد من الانحرافات المعيارية ، نتجاهل الحل السلبي للمعادلة. وهذا يبين أن ك يساوي الجذر التربيعي لاثنين. لذا فإن 50٪ على الأقل من البيانات تقع ضمن 1.4 انحراف معياري تقريبًا عن المتوسط.

يستغرق مسار الحافلة رقم 25 وقتًا متوسطًا 50 دقيقة مع انحراف معياري يبلغ دقيقتين. يشير ملصق ترويجي لنظام الحافلات هذا إلى أن "95٪ من مسار الحافلة الزمنية رقم 25 يستمر من ____ إلى _____ دقيقة". ما الأرقام التي ستملأها في الفراغات؟

هذا السؤال مشابه للسؤال الأخير الذي نحتاج إلى حل له كعدد الانحرافات المعيارية عن المتوسط. ابدأ بتعيين 95٪ = 0.95 = 1 - 1 /ك². هذا يوضح أن 1 - 0.95 = 1 /ك². بسّط لمعرفة أن 1 / 0.05 = 20 = ك². وبالتالي ك = 4.47.

الآن عبر عن هذا في الشروط أعلاه. 95 ٪ على الأقل من جميع الألعاب هي 4.47 انحرافات معيارية عن متوسط ​​الوقت البالغ 50 دقيقة. اضرب 4.47 في الانحراف المعياري 2 لينتهي بتسعة دقائق. إذاً 95٪ من الوقت ، يستغرق خط الحافلة رقم 25 بين 41 و 59 دقيقة.